Ne pas - Groupe en aluminium pur

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 6562 (2023) Citer cet article

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Dans le passé, pour modéliser la rigidité des fibres de fibres à rayon fini, les modèles de déformation finie (non linéaires) précédents étaient principalement basés sur la théorie de la théorie du gradient de déformation non linéaire (deuxième gradient) ou la théorie de la tige de Kirchhoff. On constate que ces modèles caractérisent le comportement mécanique de solides polaires transversalement isotropes avec une infinité de fibres purement flexibles de rayon nul. Pour introduire l'effet de la rigidité en flexion des fibres sur des fibres purement flexibles à rayon nul, ces modèles ont supposé l'existence de contraintes de couple (couples de contact) et de contraintes de Cauchy non symétriques. Cependant, ces contraintes ne sont pas présentes sur les déformations des solides élastiques non polaires réels renforcés par des fibres à rayon fini. En plus de cela, la mise en œuvre des conditions aux limites pour les modèles de second gradient n'est pas simple et la discussion sur l'efficacité des modèles d'élasticité du gradient de déformation pour décrire mécaniquement les solides du continuum est toujours en cours. Dans cet article, nous développons une équation constitutive pour un solide élastique non polaire non linéaire, renforcé par des fibres noyées, dans laquelle la résistance élastique des fibres à la flexion est modélisée via les branches classiques de la mécanique des milieux continus, où le développement de la théorie des contraintes est basé sur des matériaux non polaires ; c'est-à-dire sans utiliser la deuxième théorie du gradient, qui est associée aux contraintes de couple et aux contraintes de Cauchy non symétriques. Compte tenu de cela, le modèle proposé est simple et un peu plus réaliste par rapport aux modèles de second gradient précédents.

Les matériaux composites renforcés de fibres ont souvent été utilisés dans les applications d'ingénierie récentes. La croissance rapide des industries manufacturières a conduit à la nécessité d'améliorer les matériaux en termes de résistance, de rigidité, de densité et de coût réduit avec une durabilité améliorée. Les matériaux composites renforcés de fibres sont apparus comme l'un des matériaux possédant une telle amélioration des propriétés servant leur potentiel dans une variété d'applications1,2,3,4. L'infusion de fibres naturelles synthétiques ou naturelles dans la fabrication de matériaux composites a révélé des applications importantes dans une variété de domaines tels que le biomédical, l'automobile, la mécanique, la construction, la marine et l'aérospatiale5,6,7,8. En biomécanique, certains tissus mous peuvent être modélisés comme des matériaux composites renforcés de fibres9,10. Dans l'ingénierie lourde moderne, les matériaux traditionnels lourds sont progressivement remplacés par des structures composites polymères renforcées de fibres de poids inférieur et de résistance supérieure. Ces structures, telles que les voies ferrées et les ponts, sont toujours sous l'action de charges mobiles dynamiques causées par le trafic de véhicules en mouvement. Par conséquent, compte tenu de ce qui précède, une construction rigoureuse d'un modèle de comportement mécanique, basé sur la théorie solide de la mécanique du continuum, pour les solides renforcés de fibres non polaires, est primordiale et présente un intérêt précieux dans les conceptions d'ingénierie et trouverait de nombreuses Applications pratiques.

La longue histoire11,12,13 de la mécanique des solides renforcés de fibres non polaires a, de manière générale, considérablement enrichi et avancé les connaissances en mécanique des solides. Un problème de valeur limite pour un solide élastique non polaire renforcé par des fibres (à rayon fini) peut être résolu à l'aide de la méthode des éléments finis (FEM), si de petits éléments sont autorisés à mailler les fibres. Si nous traitons les fibres comme un solide isotrope mais avons des propriétés de matériau différentes des propriétés de la matrice (matériau qui n'est pas attribuable aux fibres), nous pouvons utiliser une fonction d'énergie de déformation inhomogène

dans la résolution du problème FEM, où \(\lambda _1,\lambda _2\) et \(\lambda _3\) sont les tronçons principaux. On note qu'en raison du rayon fini des fibres, on observe une résistance à la flexion due aux changements de courbure des fibres. Cependant, si le rayon de la fibre est considérablement petit, le maillage des fibres et de la matrice peut être gênant et il peut donc être impossible de rechercher une solution de valeur limite via le FEM. Pour surmonter ce problème de rayon significativement petit, une solution FEM peut être obtenue en utilisant une fonction d'énergie de déformation élastique transversalement13

où \({\varvec{U}}\) est le tenseur d'étirement à droite et \({\varvec{a}}\) est le vecteur unitaire préféré dans la configuration de référence. On constate que ce modèle transversalement isotrope contient une infinité de fibres purement flexibles de rayon nul ; ce modèle ne peut donc pas modéliser la résistance élastique due aux changements de courbure des fibres. Nous soulignons que la contrainte de Cauchy dans les modèles isotropes et transversalement isotropes est symétrique et cela est effectivement observé dans un solide non polaire en l'absence d'une contrainte de couple. Pour modéliser l'effet de la résistance élastique due aux changements de courbure des fibres, des modèles récents14,15,16,17 qui sont encadrés dans le cadre de la théorie du gradient de déformation non linéaire ou de la théorie de la tige de Kirchhoff18, ont été développés. Nous notons que ces modèles de second gradient caractérisent le comportement mécanique de solides (polaires) transversalement isotropes avec une infinité de fibres purement flexibles de rayon nul. Mais, afin de simuler l'effet de la raideur en flexion des fibres sur des fibres purement flexibles de rayon nul, les modèles de second gradient introduisent l'existence d'une contrainte de couple et d'une contrainte de Cauchy non symétrique dans les équations constitutives ; nous devons souligner que ces deux contraintes ne sont pas présentes sur les déformations de solides élastiques non polaires réels renforcés par des fibres à rayon fini. En général, les modèles d'élasticité à gradient plus élevé sont utilisés pour décrire des structures mécaniques à l'échelle micro et nano ou pour régulariser certains problèmes mal posés au moyen de ces contributions à gradient plus élevé. La discussion sur l'efficacité des modèles d'élasticité à gradient plus élevé pour décrire mécaniquement les solides du continuum est toujours en cours19,20,21.

Par conséquent, l'objectif de cet article est de proposer un modèle approximatif pour simuler le comportement mécanique de solides élastiques non polaires réels renforcés par des fibres à rayon fini, où la contrainte de Cauchy est symétrique et la résistance à la flexion des fibres est causée par des changements de courbure de la fibres. Nous nous concentrons sur les changements de courbure des fibres, car dans les solides composites, ces changements jouent un rôle important dans le comportement mécanique des solides. Puisque notre modèle contient une infinité de fibres avec un rayon nul, nous excluons les effets dus à la « torsion » des fibres. En fait, Spencer et Soldatos17 ont déclaré que

"Ce faisant, nous excluons les effets dus à" l'évasement "et à la" torsion "des fibres, qui figurent tous deux dans la théorie des cristaux liquides, mais il est plausible que dans les solides composites à fibres, le facteur principal soit la courbure des fibres."

Notre modèle proposé ne nécessite pas de contraintes de couple (qui ne sont pas observées dans les solides élastiques non polaires réels renforcés par des fibres à rayon fini) pour décrire la résistance élastique des fibres à la flexion.

L'approche spectrale14,22 est utilisée dans la modélisation et celle-ci est décrite de manière préliminaire dans Sects. "Préliminaires" et "Fonction d'énergie de déformation", où dans la Sect. "Fonction d'énergie de déformation" une fonction d'énergie de déformation contient un vecteur qui régit les changements de courbure de la fibre. Un prototype de l'énergie de déformation est donné dans la Sect. Le "prototype d'énergie de déformation" et les problèmes de valeur aux limites pour étudier l'effet de la résistance à la flexion des fibres sont présentés dans la Sect. "Problème de valeur limite".

Déformation due à l'application du déplacement aux limites et de la traction aux limites. \(B_r\) est la configuration de référence (non déformée), \(B_t\) est la configuration actuelle, \({\varvec{x}}\) et \({\varvec{y}}\) sont, respectivement, les vecteurs position de X dans les configurations de référence et courante, où X représente une particule générique du corps solide.

Dans cette communication, tous les indices i, j et k prennent les valeurs 1,2,3, sauf indication contraire. En termes d'invariants spectraux, le gradient de déformation \({\varvec{F}}\) est décrit via

où \({\varvec{y}}\) et \({\varvec{x}}\) désignent, respectivement, les vecteurs de position d'une particule de corps solide dans les configurations actuelle et de référence (voir Fig. 1 ) ; \(\lambda _i\) est un étirement principal, \({\varvec{v}}_i\) est un vecteur propre du tenseur d'étirement gauche \({\varvec{V}}= {\varvec{F}}( \lambda _i,{\varvec{v}}_i,{\varvec{v}}_i)\) et \({\varvec{u}}_i\) est un vecteur propre du tenseur d'étirement à droite \({\ varvec{U}}= {\varvec{F}}(\lambda _i,{\varvec{u}}_i,{\varvec{u}}_i)\). Notez que le tenseur de Cauchy-Vert droit \({\varvec{C}}= {\varvec{F}}(\lambda _i^2,{\varvec{u}}_i,{\varvec{u}}_i) \) et le tenseur de rotation \({\varvec{R}}= {\varvec{F}}(\lambda _i=1,{\varvec{v}}_i,{\varvec{u}}_i)\) , où \({\varvec{F}}={\varvec{R}}{\varvec{U}}\). Nous ne considérons que les solides élastiques incompressibles, où \(\det {\varvec{F}}=1\), \(\det\) indique le déterminant d'un tenseur et l'effet des forces corporelles est supposé négligeable. La convention de sommation n'est pas utilisée ici.

Pour modéliser la cinématique des fibres enrobées, nous supposons le corps, considéré comme un continuum homogénéisé constitué d'un matériau matriciel et de fibres ensemble. Nous modélisons ce matériau en considérant un solide transversalement élastique avec les directions unitaires préférées \({\varvec{a}}({\varvec{x}})\) dans la configuration de référence et ces directions préférées deviennent le vecteur

dans la configuration actuelle, où \({\varvec{f}}\) est un vecteur unitaire. Dans notre modèle proposé, la dérivée directionnelle du vecteur unitaire de la fibre dans la direction de la fibre, c'est-à-dire

joue un rôle important dans la modélisation de la résistance élastique due aux changements de courbure des fibres. Compte tenu de cela, nous dotons un vecteur \({\varvec{d}}\) associé à \({\varvec{c}}\) (nous clarifierons l'association plus tard) dans (5), qui est indépendant de \({\varvec{F}}\), c'est-à-dire14,15

où

\({\bar{{\varvec{F}}}}({\varvec{x}})\) est le tenseur de déformation indépendant de \({\varvec{F}}\), c'est-à-dire \({\ varvec{d}}\) n'est pas intégré dans la matrice, et donc en général son image \({\bar{{\varvec{F}}}}^{-T}{\varvec{d}}\) dans la configuration actuelle n'est pas directement liée à la déformation de la matrice. Clairement à partir de (6), nous avons \({\varvec{d}}\cdot {\varvec{a}}=0\) (Voir Fig. 2 pour l'interprétation géométrique). Si on laisse \({\bar{{\varvec{F}}}}={\varvec{F}}\), on a alors l'association \({\varvec{c}}= {\varvec{F} }^{-T}{\varvec{d}}\)14,15. Pour faciliter le processus de modélisation, nous exprimons le vecteur

où \({\varvec{k}}\) est un vecteur unitaire avec la propriété \({\varvec{a}}\cdot {\varvec{k}}=0\). Pour modéliser la résistance élastique due aux changements de courbure des fibres, nous supposons l'énergie de déformation objective

pour tout tenseur de rotation \({\varvec{Q}}\). Suite aux travaux de Shariff22,23, W peut être caractérisé par les invariants spectraux

et le scaler \(\rho\), où \(\lambda _i\) et \({\varvec{u}}_i\) sont, respectivement, les valeurs propres et les vecteurs propres de \({\varvec{U}}\ ). Ainsi, nous pouvons exprimer

en notant que le \({W}_{(a)}\) doit satisfaire la P-propriété décrite dans24 associée à la coalescence des étendues principales \(\lambda _i\). Étant donné que W doit être indépendant du signe de \({\varvec{a}}\) et \({\varvec{d}}\), nous exprimons

Signification géométrique des vecteurs dérivés directionnels : \({\varvec{F}}\ne {\bar{{\varvec{F}}}}\), \({\varvec{a}}\cdot {\varvec{d }}={\varvec{b}}\cdot {\varvec{c}}= {\bar{{\varvec{b}}}}\cdot {\bar{{\varvec{c}}}} = 0 \), \({\bar{{\varvec{b}}}} = {\bar{{\varvec{F}}}}{\varvec{a}}=\iota {\bar{{\varvec{ f}}}}\), et \({\bar{{\varvec{c}}}} = {\displaystyle \frac{\partial {\bar{{\varvec{f}}}}}{\partial {\varvec{x}}}}{\varvec{a}}\).

L'évaluation des tenseurs de contrainte nécessite des composantes spectrales du tenseur spectral lagrangien de \({\displaystyle \frac{\partial W}{\partial {\varvec{C}}}}\) c'est-à-dire,

Les composantes spectrales eulériennes de la contrainte de Cauchy \({\varvec{T}}\) pour un corps incompressible par rapport à la base eulérienne spectrale \(\{ {\varvec{v}}_1,{\varvec{v}} _2,{\varvec{v}}_3\}\) sont

Dans cet article, suite aux travaux de Shariff22, nous nommons un prototype de fonction d'énergie de déformation qui satisfait la propriété P. Nous soulignons que notre proposition de fonction d'énergie de déformation non linéaire est cohérente avec la théorie de l'élasticité infinitésimale. Pour assurer cette cohérence, nous commençons la construction de notre prototype non linéaire en développant son homologue d'énergie de déformation infinitésimale.

Avant de construire des prototypes d'énergie de déformation pour une déformation de déformation finie, nous donnons une brève description de l'élasticité infinitésimale. Lorsque le gradient du champ de déplacement \({\varvec{u}}\) est très petit

où \(\Vert \bullet \Vert\) est une norme appropriée et la grandeur de e est bien inférieure à l'unité. Jusqu'à O(e),

où \({\varvec{E}}\) est la déformation infinitésimale. La forme quadratique la plus générale de la fonction d'énergie de déformation est

où

où \(\mu , \mu _1, \mu _2, \kappa _1, \kappa _2,\kappa _3\) sont des constantes matérielles de l'état fondamental et leurs limites sont données dans l'annexe A en ligne.

Nous proposons une fonction d'énergie de déformation finie qui est cohérente avec sa contrepartie infinitésimale. Cela peut être facilement fait, à la suite des travaux de Shariff22, en étendant la fonction d'énergie de déformation infinitésimale ci-dessus en utilisant des déformations généralisées spectrales pour des déformations finies. La fonction d'énergie de déformation proposée est

où

avec les propriétés22

Nous pourrions également inclure la propriété suivante, le cas échéant, \(r_\alpha\) pour représenter les mesures de déformation physique avec les valeurs de déformation extrêmes

Nous pourrions facilement étendre (21) à (23) pour construire une fonction d'énergie de déformation plus générale (voir par exemple22), mais la fonction d'énergie de déformation proposée dans la section devrait suffire à illustrer notre modèle.

Pour illustrer notre théorie, nous considérons deux déformations simples, la flexion pure et la torsion finie d'un cylindre circulaire droit, où leurs déplacements sont connus. Pour les problèmes aux limites, où les déplacements sont inconnus, la construction des solutions est décrite dans l'annexe B en ligne.

Pour tracer les résultats dans cette section, par souci de simplicité, nous utilisons

et les valeurs de l'état fondamental

sont ceux associés au tissu musculaire squelettique10,25. Étant donné que notre modèle est nouveau et qu'il n'y a pas de valeurs expérimentales pour les constantes d'état fondamental de rigidité en flexion suivantes, nous utilisons les valeurs ad hoc

pour tracer les graphiques. Notez que les valeurs ci-dessus satisfont aux restrictions indiquées à l'annexe A.

Pliage d'un bloc rectangulaire en un secteur de tube cylindrique.

Considérons le problème de la flexion pure en déformation plane, illustré à la Fig. 3, dans lequel une dalle rectangulaire de matériau incompressible est pliée dans un secteur d'un anneau circulaire défini par

où \((r,\theta ,z)\) est la coordonnée polaire cylindrique pour la configuration actuelle et \((x_1,x_2,x_3)\) est la coordonnée référentielle cartésienne de base \(\{ {\varvec{ g}}_1 , {\varvec{g}}_2, {\varvec{g}}_3 ={\varvec{e}}_z \}\).

La formule employée ici pourrait être utilisée pour comparer notre théorie à l'expérience (par exemple, une expérience de test de flexion à trois points décrite dans la référence 26).

Le tenseur de déformation a la forme

A partir de la condition d'incompressibilité \(\det {\varvec{F}}=1\) et des conditions aux limites \(\theta (0)=0\) et \(r(A)=a\) on obtient

où \(r(B) = b\). Ainsi, compte tenu de (3), (30) et (31), on a

et les vecteurs de base spectrale sont \({\varvec{u}}_i={\varvec{g}}_i\), \({\varvec{v}}_1={\varvec{e}}_r\), \({\varvec{v}}_2={\varvec{e}}_\theta\) et \({\varvec{v}}_3={\varvec{e}}_z\).

Dans cette section, nous étudions le cas \({\varvec{a}}={\varvec{g}}_2\), donc \(a_1=a_3=0\) et \(a_2=1\). Si on laisse \({\bar{{\varvec{F}}}}={\varvec{F}}\), on obtient

La fonction d'énergie de déformation est simplifiée, c'est-à-dire

Les composantes de contrainte de Cauchy non nulles deviennent simplement

où \(\sigma _1=\sigma _{rr}\), \(\sigma _2=\sigma _{\theta \theta }\) et \(\sigma _3=\sigma _{zz}\) sont cylindriques composantes de la contrainte de Cauchy. Puisque \(\sigma _i\) ne dépend que de r, l'équation d'équilibre devient simplement

Si nous supposons que \(\sigma _{rr} = 0\) à \(r = b\), nous avons alors

Ainsi, nous pouvons évaluer

et avec l'expression ci-dessus pour p, nous obtenons les relations contrainte-déformation pour \(\sigma _{\theta \theta }\) et \(\sigma _{zz}\). Le moment fléchissant \({\mathcal {M}}\) et la force normale \({\mathcal {N}}\), par unité de longueur dans la direction \(x_3\), et appliqués à une section de constante \(\thêta\), sont

Dans les Fig. 4 et 5, les comportements, respectivement, des contraintes radiales et circonférentielles sont représentés à l'aide de \({\displaystyle \frac{\chi }{B}}=1\) et le matériau est déformé à \({\displaystyle \frac {a}{B}}=1\). Il ressort de ces figures que l'amplitude des contraintes est plus élevée pour un solide élastique avec des fibres résistantes à la flexion que pour un solide avec des fibres parfaitement flexibles.

Comportement radial de la contrainte \(\sigma _{rr}\). (a) Solide élastique avec résistance à la flexion des fibres. (b) Solide élastique sans résistance à la flexion des fibres.

Comportement radial de la contrainte \(\sigma _{\theta \theta }\). (a) Solide élastique avec résistance à la flexion des fibres. (b) Solide élastique sans résistance à la flexion des fibres.

Les valeurs \({\mathcal {M}}\) pour un matériau avec et sans résistance à la flexion des fibres sont, respectivement, 46,44514245 kPaM\(^2\) et 35,55851694 kPaM\(^2\). Les valeurs \({\mathcal {N}}\) pour un matériau avec et sans résistance à la flexion des fibres sont, respectivement, 30,58637503 kPaM et 23,29228593 kPaM. Par conséquent, la rigidité en flexion augmente l'amplitude de \({\mathcal {M}}\) et \({\mathcal {N}}\).

Dans cette section, nous considérons un anneau cylindrique circulaire à paroi épaisse incompressible avec la géométrie initiale

où R, \(\Theta\) et Z sont des coordonnées polaires de référence avec la base correspondante \(B_R=\{ {\varvec{E}}_R,{\varvec{E}}_\Theta ,{\varvec{E }}_Z \}\). Le problème de valeur limite illustré ici pourrait être utilisé dans une expérience (voir, par exemple, référence27) pour vérifier nos prédictions théoriques.

La déformation est illustrée à la Fig. 6 et est décrite par

où \(\tau\) est la quantité de torsion par unité de longueur déformée et \(\lambda _z\) est l'étirement axial. Dans la formulation ci-dessus, r, \(\theta\) et z sont des coordonnées polaires cylindriques dans la configuration déformée avec la base correspondante \(B_C=\{ {\varvec{e}}_r,{\varvec{e}}_ \theta ,{\varvec{e}}_z \}\). Ici, nous avons autorisé \({\varvec{e}}_r={\varvec{E}}_R\), \({\varvec{e}}_\theta ={\varvec{E}}_\Theta \) et \({\varvec{e}}_z={\varvec{E}}_Z\). Le gradient de déformation est

où \(\gamma =r\tau\) et dans cet article, nous ne considérons que \(\lambda _z \ge 1\). Les directions principales du Lagrangien sont :

où

avec

Dans le cas de la torsion pure, \(\lambda _z=1\) et on a \({\hat{\gamma }}=\gamma\). Les principaux étirements pour une déformation combinée en extension et en torsion sont

Torsion et extension d'un cylindre.

Dans cette section, nous considérons le cas où \({\varvec{a}}={\varvec{E}}_z\), d'où \(a_1=0\), \(a_2=s\) et \(a_3 =c\). Si nous laissons \({\bar{{\varvec{F}}}}={\varvec{F}}\) et en utilisant

on obtient

La fonction d'énergie de déformation prend alors la forme

Le stress de Cauchy

Au vu de \({\varvec{a}}\equiv [0,0,1]^T\), on a \(a_1=0\), \(a_2=s\) et \(a_3=c\ ) et

où

La force normale \({\mathcal {N}}\) et le couple par unité de surface déformée \({\mathcal {M}}\) appliqués aux extrémités du cylindre sont les suivants :

Pour supprimer le terme de pression hydrostatique dans (54)\(_1\), on utilise la relation d'équilibre

et reformuler (54)\(_1\) sous la forme

Il ressort clairement de la figure 7 que, pour un étirement axial \(\lambda _z=1,5\), nous avons besoin de plus de couple pour tordre un cylindre solide élastique avec une rigidité en flexion des fibres.

Couple, \({\mathcal {M}}\) contre \(\tau\). (a) Solide élastique avec rigidité en flexion des fibres. (b) Solide élastique sans rigidité de flexion des fibres. \(\lambda _z=1.5\).

Nous avons modélisé la résistance élastique due aux changements de courbure des fibres sans utiliser la deuxième théorie du gradient. Compte tenu de cela, le modèle hyperélastique proposé est simple et ne contient pas de contraintes de couple (ce qui est nécessaire dans un deuxième modèle de gradient). Par conséquent, le modèle proposé est plus réaliste dans le sens où un polymère renforcé de fibres de carbone est un matériau non polaire, où les contraintes de couple n'existent pas. Dans un futur proche, des solutions FEM du modèle proposé seront obtenues et nous étendrons ce modèle aux polymères renforcés par une famille de deux fibres.

Toutes les données générées ou analysées au cours de cette étude sont incluses dans cet article publié [et ses fichiers d'informations supplémentaires].

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Département de mathématiques, Khalifa University of Science and Technology, Abu Dhabi, EAU

Chérif MHBM

Département de Mathématiques Appliquées aux TIC, ETS de Génie des Systèmes Informatiques, Université Polytechnique de Madrid, 28031, Madrid, Espagne

J. Mérodio

Département de génie mécanique, Université du Chili, Beauchef 851, Santiago Centro, Santiago, Chili

R. Bustamante

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MHBMS Rédaction du brouillon original, Rédaction-révision et édition. Tous les auteurs ont examiné le manuscrit.

Correspondance à MHBM Shariff.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

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Reçu : 03 février 2023

Accepté : 17 avril 2023

Publié: 21 avril 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-33670-6

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